TURBULENCIAS DEL CICLO CARDÍACO
La Turbulencia del ciclo cardíaco (Heart Rate Turbulence, HRT) es la respuesta fisiológica del nodo sinusauricular (NSA) a contracciones ventriculares prematuras (Ventricular Premature Contraction VPC). La HRT se pude describir como una breve aceleración inicial (de uno o dos latidos de duración) del ciclo cardíaco, seguida por una deceleración del mismo. Se puede decir, que se trata de una breve fluctuación (de ahí el término turbulencia) que se puede apreciar en el ciclo cardíaco en ritmo sinusal en una persona sana como consecuencia de la respuesta del NSA a un VPC.
Los mecanismos que desenlazan la HRT no están todavía completamente identificados, aunque, en la literatura la explicación maroyitaramente aceptada es la de que se trata de una respuesta refleja barorreceptora autónoma, ver Figura 1.4. Según esta explicación, el VPC causa una pequeña perturbación en la presión sanguínea arterial, de forma que, la realimentación que recibe el sistema nerviosos autónomo (SNA) por parte del reflejo barorreceptor provoca la actuación de las ramas simpáticas y parasimpáticas sobre el NSA, ofreciendo como respuesta la HRT. Esta explicación es válida para el caso de personas con el SNA y sistema cardíaco intactas, de forma que es esperable que la reacción del NSA en personas con algún tipo de patología cardíaca o en el sistema nervioso encargado del modular el ritmo cardíaco la HRT, o bien no aparezca, o bien aparezca debilitada, (ver Figuras 11.1, 11.2).
El análisis de la HRT ha permitido establecerlo como un predictor de riesgo en pacientes que han sufrido un infarto de miocardio [127, 103].
Para caracterizar cuantitativamente la HRT se han establecido una serie de medidas que pueden ser obtenidas a partir del análisis de registros Holter (24 horas), y en concreto estudiando el tacograma (secuencia de intervalos RR), como se puede observar en la Figura 11.1. El número de latidos que se utiliza para realizar las medidas no es un parámetro homogéneo en toda la literatura, varía desde 22 latidos posteriores a la pausa compensatoria (PC) que sigue a un VPC [128] hasta 15 latidos, este último número es el más utilizado en las publicaciones más recientes [134]. Las medidas que habitualmente se utilizan son [128]:
Turbulence Slope
Definición: máxima pendiente positiva de las rectas de regresión lineal para las secuencias de cinco intervalos normales consecutivos en el tacograma, posteriores al VPC y a la PC. Metodología: se toman secuencias de cinco intervalos normales posteriores al VPC y a la PC:
[RR(1) ; : : : ;RR(5)] ; [RR(2) ; : : : ;RR(6)] ; : : : ; [RR(11) ; : : : ;RR(15)] : (11.1)
Para cada una de las secuencias de cinco intervalos se ajusta una recta de regresión y se computa su pendiente. Se toma como valor del turbulence slope (TS) la máxima pendiente positiva.
Propiedades: El TS tiene unidades de milisegundos por intervalo RR:
[TS] = ms=IntervaloRR.
El cálculo del TS se realiza sobre el promedio de todos los tacogramas locales. Se ha observado que valores positivos del TS son indicio de estado saludable.
Turbulence Onset
Definición: diferencia porcentual la tasa cardíaca inmediatamente posterior a la VPC y la tasa cardíaca inmediatamente anterior.
Metodología: La Turbulence Onset (TO) se computa como la diferencia entre la media de los primeros dos intervalos RR posteriores a la pausa compensatoria (PC) y los últimos dos intervalos RR anteriores a la VPC dividida por la media de los últimos dos intervalos RR anteriores a la VPC, expresada en porcentaje.
Propiedades: La forma de obtener el TO global es determinando el TO para cada tacograma local y promediando para el total de tacogramas. Un valor superior a cero de TO implica una deceleración del ritmo sinusal, mientras que un valor menor que cero implica una aceleración. Por lo tanto, valores negativos de TO son un indicador de un estado saludable.
Turbulence Dynamics
Definición: este parámetro se calcula como la pendiente más negativa de la regresión lineal entre el TS y el ritmo cardíaco de cada VPC, estimado utilizandos los tres intervalos NN anteriores al VPC [13].
Metodología: se representan los valores de la TS asociados a sus ritmos cardíacos, utilizando una ventana deslizante de 10 latidos por minuto se computa la pendiente de la recta ajustada por regresión lineal con un mínimo de 5 datos. Se emplea como valor para la turbulence dymanics (TD) la pendiente más negativa, ver Figura 11.3. Para el cómputo de la TD se recomienda utilizar un mínimo de 25 VPC por paciente.
Propiedades: este parámetro se introduce para intentar obtener una medida que tenga en cuentra la alta dependencia que posee el comportamiento de la HRT con respecto al ritmo cardíaco local (ver Fig. 11.4). Los valores de TD más negativos (mayor pendiente) se asocian con estados saludables, mientras que los valores de TD cercanos a cero (pendiente nula) se asocian con problemas cardíacos.
Las medidas expuestas hasta el momento son las de mayor utilización en la literatura, y son las que se han mostrado como las más eficaces. Existen también otro tipo de medidas que son menos utilizadas y que se presentan a continuación [134].
Turbulence Timing
Definición: parámetro que identifica el primer intervalo RR de la secuencia de cinco en la que se toma el TS, es decir, donde la pendiente del cambio de RR es máxima.
Propiedades: mide el tiempo promedio que pasa entre que se produce el VPC hasta que se produce la máxima aceleración.
Turbulence Jump
Definición: parámetro que cuantifica la máxima diferencia entre intervalos RR adyacentes.
Propiedades: ha sido identificado como un buen predictor de taquicardia y fibrilación ventricular en pacientes con cardiomiopatía dilatada [134].
Análisis espectral HRT
Definición: en el análisis de HRT en el dominio de la frecuencia, se utiliza un ínidice conocido por Turbulence Frequency, cuyo objetivo es cuantificar el comportamiento de la HRT en el dominio de la frecuencia.
Metodología: el procedimiento de análisis espectral es el siguiente, se ajusta la ecuación de una onda sinusoidal a los valores de los intervalos RR que se encuentran a continuación de la PC con un término de frecuencia que disminuye con el tiempo, de forma que el mejor ajuste, en sentido de mínimos cuadrados, se toma como cuantificación espectral de la HRT.
Filtrado de VPC
Definición: uno de los principales problemas que se plantea a la hora de realizar análisis de la HRT, es el criterio para la selección de los VPC y sus intervalos RR asociados, que de aquí en adelante se denotará por tacograma local, que se incluirán en el análisis HRT final. Como norma general, se pide que el desencadenante de la HRT sea realmente un VPC, no un artefacto, o cualquier otro ectópico, además, los cinco latidos anteriores y 15 posteriores al VPC deben ser de origen exclusivamente sinusal.
Metodología: el filtro más utilizado en la literatura excluye los tacogramas locales que posean las siguientes características [134]:
- Intervalo RR < 300 ms.
- Intervalo RR > 2000 ms.
- Diferencia menor de 200 ms entre el intervalo RR sinusal actual y el intervalo RR sinusal precedente.
- Diferencia mayor del 20% entre el intervalo RR actual y el intervalo de referencia (media de los cinco últimos intervalos sinusales).
El análisis HRT se restringen exclusivamente a los VPC con una precocidad mínima del 20 %.
Propiedades: el objetivo del filtrado de VPC es que en el análisis de HRT sólo se incluyen aquellos tacogramas locales que realmente muestren (o al menos deberán mostrar) el comportamiento descrito como turbulencia del ciclo cardíaco, y no otro tipo de comportamiento del sistema cardiovascular, que en el caso de HRT será considerado como ruido y contribuirá a entorpecer la cuantificación.
Análisis HRT con SVM
En esta sección, se detalla como el proceso de la utilización de SVM para el estudio de la HRT.
Primero, se identifica la motivación de utilizar la SVM para regresión en el análisis de la HRT, en concreto el filtrado de tacogramas locales.
Motivación del Filtrado
El procedimiento de obtención de los parámetros de cuantificación de la HRT, TS y TO, implican el promediado de todos los tacogramas locales identificados como válidos. El objetivo principal de este promediado es la reducción del ruido fisiológico de diferente naturaleza presente en el ritmo cardíaco en general. Debido al hecho de que el tacograma local promedio se obtiene habitualmente a partir de registros Holter de 24 horas, los índices obtenidos a partir de dicho tacograma local son considerados como una medida de largo plazo del estado de un paciente en un día completo.
Como se puede observar en la Figura 11.5, que representa un único tacograma local perteneciente a un registro Holter de 24 horas, la obtención de los parámetros de cuantificación resulta difícil debido al ruido contenido en dicho tacograma local. Por lo tanto, el promediado de todos los tacogramas locales permite obtener secuencias
menos ruidosas (ver Figura 11.6).
Sin embargo, el procedimiento de promediado de largo plazo puede enmascarar información relevante, tanto desde el punto de vista clínico como desde el punto de vistas de análisis de señal. Primeramente, mediante esta técnica, no se presta atención a la dependencia de la HRT del ritmo cardíaco precedente. El promediado impide la comparación de la HRT en un momento dado con otras variables fisiológicas.
Por ejemplo, comparación entre HRT local y la HRV de corto plazo no será posible con el procedimiento clásico de promediado.
Actualmente se está trabajando también en estudiar la HRT provocada por extrasístoles supraventriculares, y no sólo aquellos de origen ventricular.
El filtrado de los tacogramas locales permitirá la cuantificación de corto plazo de la HRT, pero plantea una serie de desafíos, por un lado, la longitud de los tacogramas locales es muy pequeña, 15 latidos es la recomendación actual, por lo que es necesaria la utilización de métodos robustos de filtrado. Por otro lado, es desconocida la naturaleza del ruido, debido a que en registros Holter de 24 horas, las fuentes de ruido son diversas. Además, no existe un estándar, un patrón de turbulencia con el que poder comparar para estudiar la precisión del filtrado.
Para intentar paliar algunos de los problemas presentados, se desarrolló un protocolo para la obtención de tacogramas locales de pacientes sanos en un entorno controlado. Para ello, se seleccionarion a un número de pacientes que cumpliese con la premisa de una respuesta del SNA a un VPC normal (sana), y en el desarrollo de un estudio electrofisiológico (EEF) se indujeron, mediante estimulación eléctrica, un
número de VPC. Con estos datos se elaboró la base de datos de EEF.
Sobre los tacogramos locales de esta base de datos se aplicaron tres tipos distintos de filtros: filtro FIR, filtro de Mediana y filtro SVM (con SVM de regresión).
Las Figuras 11.7 (a) y 11.7 (b) muestran un ejemplo de filtrado de un tacograma local tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. En el dominio del tiempo, es posible apreciar que el filtrado con SVM reproduce la morfología de la HRT de forma mas suave. Este hecho, se corrobora en el dominio de la frecuencia, donde, se puede observar, como el contenido espectral de baja frecuencia, que se puede considerar responsable por la morfología de la HRT, se preserva, mientras que el contenido de alta frecuencia, que se puede considerar como ruido, se cancela.
Seguidamente, una vez que se observó que el filtrado, principalmente con SVM, en condiciones controladas y poco ruidosas, es decir en EEF, preservaba la morfología y cancelaba la mayor parte del ruido, se pasó a estudiar el filtrado de tacogramas locales en pacientes patológicos, con infarto de miocardio agudo, en registro Holter de 24 horas.
Las Figuras 11.8 (a) y 11.8 (b) muestran un ejemplo en el domino del tiempo y en el dominio de la frecuencia de filtrado en un tacograma local de un registro Holter de 24 horas. Como se puede apreciar, el resultado es que después de filtrar el aspecto del espectro con la SVM, principalmente, es muy parecido al que se obtenía cuando se filtraba sobre el tachito del paciente en EEF, además de parecerse también al propio tachito del EEF sin filtrar, esto lleva a pensar que podrá emplearse esta técnica de filtrado de manera que se pudiese tener en cuenta, y como un valor válido, los distintos parámetros obtenidos directamente de los tachitos individuales.
ALTERNANCIAS DE LA ONDA T
En este capítulo se presenta inicialmente el concepto de alternancia de la onda T y posteriormente se presentan los distintos métodos de análisis de dicho fenómeno.
Introducción
Por alternancia de la onda T (AOT) se entiende la variación de la morfología de dicha onda latido a latido (no se debe confundir con variación de la longitud que depende de la VFC). Este fenómeno se ha encontrado en diversas cardiopatías. Se debe a la falta de coherencia que normalmente tiene que existir entre la frecuencia cardíaca y la duración de la repolarización.
Las AOT, también llamadas alternancias de repolarización, son un fenómeno transitorio que se manifiesta en el ECG de superficie en forma de cambios en la morfología de la repolarización, es decir, en el segmento ST y en la onda T, con un periodo de 2 latidos. La variabilidad latido a latido de la amplitud del ECG se ha tratado generalmente como ruido y, o bien se ha ignorado, o bien se ha eliminado mediante un promediado de señal.
Posteriormente, estas alternancias se han reconocido como indicadoras de patología cardíaca en una amplia variedad de situaciones experimentales y clínicas. Recientemente, se ha concluido que la presencia de alternaciones imperceptibles en la amplitud de la onda T (AOT microscópicas) es un presagio de arritmias ventriculares malignas.
Esto lleva a pensar que si hubiera disponibles técnicas adecuadamente sensibles para medir las AOT microscópicas, esta medida constituirá un marcador no invasivo y clínicamente útil del riesgo de muerte cardíaca súbita (MCS). Las alternancias eléctricas representan un tipo específico de oscilación latido a latido de la amplitud del ECG que se repite cada dos latidos según un esquema ABABAB,ver Figura 12.1
Existen una serie de factores que hay que tener en cuenta a la hora de estudiar la alternancia eléctrica, como son la frecuencia cardíaca, la isquemia y la activación del sistema nervioso simpático. De todos ellos, la frecuencia cardíaca, sujeta a los cambios en el tono del SNA, juega un papel preponderante, ya que la mayoría de los pacientes presentan un umbral de frecuencia específico para la aparición de la alternancia eléctrica, valor por encima del cual la misma se mantendrá en forma continua y creciente. Este umbral se encuentra generalmente entre 80 y 110 latidos por minuto (lpm).
A frecuencias cardíacas mayores de 110 lpm, la AOT puede presentarse incluso en pacientes normales, aunque con una incidencia muy baja. Se ha demostrado que, en pacientes con cardiomiopatía dilatada, el umbral de presentación o de comienzo de la alternancia eléctrica en pacientes con alto riesgo de MCS se encuentra alrededor de 100 lpm. [91, 10].
Métodos de Análisis de las Alternancias
A continuación se establece una relación de los distintos métodos propuestos para el análisis de las alternancias [92].
Método de Energía Espectral
Definición: la idea que subyace al método de energía espectral (Energy Spectral Method, ESM) es que las alternancias se observan generalmente como fluctuaciones de 0.5 ciclos por latido (cpl) en la energía de la onda T medida latido a latido.
Metodología: la magnitud de las AOT se mide mediante un estimador de potencia espectral evaluado en 0.5 cpl de las series de energía de onda T normalizadas menos una estimación del ruido espectral de fondo.
Método Espectral
Definición: el método espectral (Spectral Method, SM) es una versión más elaborada del ESM, por lo que la idea básica es la misma que se ha expuesto para el anterior método.
Metodología: los latidos digitalizados del ECG se alinean y las estimaciones de potencia espectral se calculan para cada muestra del segmento de interés. Para decidir si hay presencia o no de AOT, se compara el valor del espectro total en 0.5 cpl con el nivel de ruido espectral.
Método de Demodulación Compleja
Definición: el método de demodulación compleja (Complex Demodulation Method, CD) es una versión alternativa al SM, pero que permite un seguimiento dinámico de las AOT.
Metodología: en este método también se alinean los latidos, y la AOT en cada serie de latidos se modela como una señal sinusoidal de frecuencia 0.5 cpl, de amplitud y fase variables. La amplitud de la AOT para cada serie se estima mediante demodulación de las componentes de frecuencia de 0.5 cpl.
Método de Correlación
Definición: el método de correlación (Correlation Method, CM) es un método que se basa en la estimación de coeficientes de correlación en el dominio del tiempo, por lo que supone una ruptura en el tipo de análisis con respecto a los métodos anteriores.
Metodología: principalmente posee dos características que lo diferencian de los métodos anteriores: El complejo ST-T se analiza conjuntamente, lo que reduce toda la información disponible en cada latido a un único coeficiente de correlación cruzada,
Las series únicas de coficientes de latidos se analizan usando un contador de cruce por cero en el dominio del tiempo.
Método de la Transformada de Karhunen-Loève
Definición: en el método de la transformada de Karhunen-Loève (Karhunen-Loève Transform, KLT) la idea es emplear la KLT truncada para comprimir la energía del complejo ST-T en un reducido número de coeficientes que contengan la mayor parte de la información.
Metodología: existen dos enfoques distintos en la utilización de la KLT para el análisis de alternancias: Se reduce cada complejo ST-T a los cuatro primeros coeficientes de la KLT y cada serie de coeficientes de latidos se analiza espectralmente mediante promedios de periodogramas (KLSM).
Se analiza la serie de coeficientes, resultante al aplicar KLT, mediante demodulación compleja.
Método de Filtrado Capon
Definición: el método de filtrado Capon (Campon Filtering Method, CF) se propone como una alternativa al CD. En CD se usa un diseño a priori de filtrado paso bajo para distinguir la componente alterna demodulada de componentes no deseadas. En CF, en lugar de un filtro invariante paso bajo, se aplica un filtro FIR (filtro de respuesta finita al impulso) que minimiza la potencia de la señal de salida a la vez que conserva la componente alterna.
Metodología: el filtro de Capon óptimo depende de la función de autocorrelación de la señal de entrada. Se define un filtro de Capon dependiente de los datos, que minimice la energía a su salida, con la restricción de que debe tener respuesta unidad a la frecuencia de la alternancia (0.5 ciclos/latido). De esta manera, el filtro se adapta a la estadística de la señal.
Método de Mapeado de Poincaré
Definición: el método de mapeado de Poincaré (Poincaré Mapping Method, PM) es una técnica gráfica, que permite analizar la evolución temporal de los distintos estados de un sistema dinámico. En el mapa de Poincaré, para cada muestra del complejo ST-T se representan las diferencias entre pares de latidos consecutivos en en el espacio de fases.
Metodología: las alternancias se identifican cuando en los mapas de Poincaré están presentes dos agrupaciones claramente definidas de puntos, y se miden en términos de la distancia entre el centroide de las muestras impares y de las pares.
Método de la Transformada Periódica
Definición: en el método de la transformada periódica (Periodicity Transform Method, PT) se aplica la PT a la serie de latidos sobre ciertos rasgos de la onda T, tales como la amplitud máxima (de pico), el área o la varianza.
Metodología: este método calcula la energía de la proyección ortogonal de cada serie en el subespacio de secuencias con periodicidad de dos latidos.
Método de Pruebas Estadísticas
Definición: en el método de pruebas estadísticas (Statistical Tests Method, ST) se utilizan test estadísticos para comparar los distintos rasgos de las ondas T en alternancia.
Metodología: se utiliza el test t de Student para muestras independientes y muestras emparejadas, que prueba la diferencia en los rasgos de las ondas T en latidos pares e impares, y se utiliza prueba de Rayleigh para la periodicidad.
Método de la Media Móvil Modificada
Definición: método basado en la aplicación de un media móvil modificada (Modified Moving Average Method, MMA) en el dominio del tiempo.
Metodología: el procedimiento consiste en calcular continuamente una media móvil recursiva de los latidos pares e impares, donde se aplica una limitación no lineal a la innovación de cada latido nuevo para evitar el efecto del ruido eléctrico impulsivo.
Método de la Razón de Verosimilitudes Laplacianas
Definición: el método de la razón de verosimilitudes Laplacianas (Laplacian Likelihood Ratio Method, LLR) se basa en la idea de utilizar un modelo, una aproximación teórica, que permita la detección de alternancias de la onda T.
Metodología: dado un modelo de señal que incluye alternancias y componentes de ruido, puede derivarse el estimador de máxima verosimilitud (MLE) y el test de la razón de verosimilitudes generalizado (Generalized Likelihood Radio Test, GLRT) para la detección y estimación de alternancias, respectivamente.
Propiedades: se ha demostrado que el ruido fisiológico es leptocúrtico, esto es, las colas de su distribución son más pesadas que las de una distribución normal y, por lo tanto, se ha propuesto un modelo de ruido Laplaciano. El MLE y el GLRT para este modelo se basan en filtros de mediana.
Estructura General de los Métodos
Un método de análisis de AOT, como los propuestos anteriormente, puede dividirse de forma genérica en tres etapas: Preprocesado, reducción de datos y análisis de AOT propiamente dicho, a su vez, este último puede descomponerse en las etapas de detección y estimación.
Este esquema se representa en la Figura 12.2. La entrada al sistema es la señal de ECG digitalizada. Existen tres posibles salidas: la decisión de si la AOT está presente o no (hipótesis H0 y H1 respectivamente), la amplitud de AOT, Vl,
y la forma de onda de la alternancia calculada en el l-ésimo latido, al[n].
13. DESCOMPOSICIÓN EN MODO EMPÍRICO
La Descomposición en Modo Empírico (Empirical Mode Decomposition, EMD) es un método propuesto recientemente por Huang et al [55]. Es una herramienta que descompone de forma adaptativa una señal en una colección de componentes que capturan las distintas escalas temporales (estructura espectral) de la señal, y que se llaman funciones de modo intrínseco (Intrinsic Mode Functions, IMF).
La principal ventaja del EMD es que no necesita unas funciones bases predefinidas a partir de las que reconstruir la señal, como en el caso de los métodos de Fourier o de Wavelets, sino que las funciones base se derivan directamente de la propia señal (adaptativo).
Debido a estas propiedades está especialmente orientado al análisis de señales no-lineales y no- estacionarias. Además, las IMF son funciones especialmente adecuadas para poder obtener lo que se conoce con el nombre de frecuencia instantánea.
Descripción del EMD
La descomposición basada en EMD es intuitiva, directa, a posteriori y adaptativa. En este método las funciones base de descomposici_on se obtienen a partir de la propia señal [55, 125]. La descomposición se basa en tres suposiciones:
- La señal posee al menos dos extremos, un máximo y un mínimo.
- La escala de tiempo característica está definida por el intervalo de tiempo entre los extremos.
- Si la señal temporal no posee extremos pero contiene puntos de inflexión, se puede derivar (una o más veces) para que obtener una señal con extremos.
Los resultados finales se pueden obtener integrando las componentes.
La esencia del método es: Identificar los modos oscilatorios intrínsecos a partir de sus escalas temporales, directamente, y empíricamente, a partir de los datos.
Después se descomponen los datos de acuerdo a la anterior identificación.
El algoritmo que permite descomponer los datos en sus modos oscilatorios intrínsecos se describe a continuación.
El Proceso de Filtrado
Se pueden establecer los siguientes pasos en la descomposición de los datos en sus IMF:
1. Primero se identifican todos los máximos y mínimos de los datos originales.
2. Una vez que se han localizado los extremos se conectan mediante una línea spline cúbica, de forma que se obtiene una envolvente superior y una envolvente inferior.
En las Figuras 13.1, 13.2 se observa la detección de máximos y mínimos para dos señales distintas.
3. Se obtiene la media de ambas envolventes, a la que se denomina como mmk(t). Donde el primer índice representa el número del modo, y el segundo indice representa el número de vueltas actual, para conseguir que dicho modo sea un IMF.
4. Se extrae la media mmk(t), de los datos, hmk(t) = x(t) _ mmk(t) (13.1)
Puede darse el caso de que hmk no sea una señal IMF, es decir, una señal simétrica y de media cero, por lo que se deben repetir los pasos 1-4 del proceso, hasta que hmk cumpla una serie de requisitos, denominados criterios de parada.
El criterio de parada habitualmente utilizado para la selección de la señal hmk es,
Desviación estándar, calculada a partir de dos resultados de filtrados consecutivos (h1kyh1(k_1))
5. Una vez que obtiene hm como señal IMF, se vuelve al paso 1 con el residuo mm, que pasan a ser los datos. El algoritmo termina de obtener los modos fundamentales cuando la última hm sea monotónica, y por lo tanto no se puedan extraer más IMF, o cuando sea tan pequeña que no se pueda seguir trabajando sobre ella. Para datos que posean una cierta tendencia, el residuo final deberá ser dicha tendencia.
Completitud y Ortogonalidad
Dado que se trata de una descomposición, se debe cumplir, como identidad que,
Frecuencia Instantánea e IMF
El concepto de frecuencia instantánea es un tanto controvertido. Es aceptado en general, pero para señales especiales monocomponentes.
Se suele aceptar la definición de la frecuencia instantánea de forma que tenga algún sentido físico: La función sobre la que se define debe ser simétrica con respecto a su media local. La función debe tener el mismo número de cruces por cero que de extremos.
De esta forma se introducen lo que se conocen como IMF, que cumplen los siguientes requisitos, y que son las funciones adecuadas para el estudio de la frecuencia instantánea:
1. En el conjunto entero de datos, el número de extremos y de cruces por cero debe ser el mismo o bien diferir en una unidad.
2. En cualquier punto, el valor medio de la envolvente de los máximos locales y la envolvente de los mínimos locales es cero.
La primera condición que se les exige a este tipo de funciones es el requerimiento típico de limitación de banda para los procesos Gaussianos estacionarios.
El concepto novedoso se introduce en la segunda condición, de forma que se sustituye el requerimiento clásico que era global, por uno nuevo local. Esto es necesario para que la frecuencia instantánea no posea fluctuaciones indeseadas, inducidas por formas de onda asimétricas. Idealmente, el requisito deberá ser que la media local de los datos debe fuese cero, pero dada la naturaleza no-estacionaria de los datos, la media local implica una escala de tiempo local para computar la media, lo que es imposible de definir. Como sustituto de este último se emplea la media local de las envolventes definidas a partir de los máximos y mínimos locales, para forzar la simetría.
Con esta definición el IMF, en cada ciclo, definido por los cruces por cero, supone sólo un modo de oscilación, y puede estar modulado tanto en frecuencia como en amplitud (AM-FM).
Para obtener la frecuencia instantánea, a partir de unos datos dados X(t), se procede de la siguiente manera.
El primer paso es aplicar la transformada de Hilbert, que se puede aplicar siempre a una serie temporal arbitraria X(t). El resultado es una nueva serie Y (t),
IMF y EMD
Con lo expuesto hasta ahora parece clara la interrelación entre las IMF y EMD, dado que con el último lo que se consigue es descomponer unos datos en un conjunto de IMF que cumplen los requisitos adecuados para que se pueda aplicar la definición anterior de frecuencia instantánea.
El Espectro de Hilbert
Una vez que se han aplicado el proceso de EMD a unos determinados datos, se obtiene una descomposición de los mismos en sus correspondientes IMF. A estas últimas se les puede aplicar la transformada de Hilbert de la forma explicada, con lo que podemos expresar los datos como,
Esta ecuación permite representar la amplitud y la frecuencia instantánea como funciones del tiempo en un gráfico tridimensional, en el que se puede pintar la amplitud en el plano freq-tiempo. Esta distribución tiempo-frecuencia de la amplitud se designa como espectro de amplitud de Hilbert, H(w; t), o simplemente espectro de Hilbert.
En la figura 13.3 se puede apreciar el espectro de Hilbert para unos segundos de un tilt.
Transformada de Hilbert
La transformada de Hilbert permite obtener una señal compleja a partir de una señal real. La transformada de Hilbert se puede interpretar como un sistema cuya respuesta al impulso es,
